对于这个神经网络的训练过程，就是要确定这11935个参数。
训练的目标可以粗略概括为：对于每一个训练样本，对应的输出无限接近于1，而其它输出无限接近于0。
根据Michael Nielsen给出的实验结果，以上述网络结构为基础，在未经过调优的情况下，可以轻松达到95%的正确识别率。而核心代码只有74行！
在采用了深度学习的思路和卷积网络(convolutional networks)之后，最终达到了99.67%的正确识别率。而针对MNIST数据集达到的历史最佳成绩是99.79%的识别率，是由Li Wan， Matthew Zeiler， Sixin Zhang， Yann LeCun，和 Rob Fergus在2013年做出的。
考虑到这个数据集里还有一些类似如下这样难以辨认的数字，这个结果是相当惊人的！它已经超越了真正人眼的识别了。
在这个过程中一步步调整权重和偏置参数的值，就必须引入梯度下降算法(gradient descent)。
在训练的过程中，我们的神经网络需要有一个实际可行的学习算法，来逐步调整参数。
而最终的目的，是让网络的实际输出与期望输出能够尽量接近。我们需要找到一个表达式来对这种接近程度进行表征。这个表达式被称为代价函数(cost function)
x表示一个训练样本，即网络的输入。其实一个x代表784个输入。
y(x)表示当输入为x的时候，期望的输出值；而a表示当输入为x的时候，实际的输出值。y(x)和a都分别代表10个输出值（以数学上的向量来表示）。而它们的差的平方，就表征了实际输出值和期望输出值的接近程度。越接近，这个差值就越小。
n是训练样本的数量。假设有5万个训练样本，那么n就是5万。因为是多次训练，所以要除以n对所有训练样本求平均值。
C(w，b)的表示法，是把cost function看成是网络中所有权重w和偏置b的函数。为什么这样看呢？进行训练的时候，输入x是固定的（训练样本），不会变。在认为输入不变的情况下，这个式子就可以看成是w和b的函数。那么，式子右边的w和b在哪呢？实际上，在a里面。y(x)也是固定值，但a是w和b的函数。
总结来说，C(w，b)表征了网络的实际输出值和期望输出值的接近程度。越接近，C(w，b)的值就越小。因此，学习的过程就是想办法降低C(w，b)的过程，而不管C(w，b)的表达形式如何，它是w和b的函数，这就变成了一个求函数最小值的最优化问题。
由于C(w，b)的形式比较复杂，参数也非常多，所以直接进行数学上的求解，非常困难。
为了利用计算机算法解决这一问题，计算机科学家们提出了梯度下降算法(gradient descent)。
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